〔學習統計學筆記〕二、統計誤差理論

    數理統計理論，是一門數學基礎課，它包括概率論等許多知識。以我的水平，在這里只記與統計誤差有關的結論。

1  標準相對統計誤差

    設期望值或期望值的近似值為m，則標準統計誤差σ與m有如下關系:

              σ2 (σ的平方)=m                                                (1)

             σ=m 1/2 (m的1/2次方)                                      (2)

    相對標準統計誤差(準確度)

               K=σ/m=1/（ m 1/2 ）(即m1/2次方的倒數)      (3)

    通過公式(3) 可以看出:期望值或期望值m，數值越大，相對標準統計誤差K，反而越小。m值決定于測量次數或微觀系統相關粒子數N。N太小，就失去了統計性。

2  測量值與準確性的正態分布

    符合統計性的測量值，應呈正態分布，通常用正態分布曲線表示。統計測量的正態分布曲線，橫坐標為測量值，縱坐標為精確度。設期望值或期望值的近似值為m，當測量值為m時，精確度最高，100%，誤差為零; 測量值往往在m兩側，由近而遠大體對稱分布，而準確度也在過m的垂線兩側由高而低的對稱分布。

    這就引出了不同誤差的置信區間和置信度的問題。如一次測量結果即為m，精確度100%，誤差為零，那么，它的置信區間---誤差區間為零，可信程度---置信度為零，太巧了。所以，精確度和置信區間、置信度有相反關系，精確度高，誤差小，置信區間窄，置信度低。通常，測量誤差大小，用標準統計誤差σ的若干倍表示，記作kσ，用以表示置信區間（即正態分布曲線某一誤差下的水平寬度，m值在左右--實為上下波動范圍），不同誤差的置信區間和置信度的關系，如表1。

                               表1 不同誤差的置信區間和置信度

                誤差名稱   置信區間±kσ中的k值     置信度(%)

                或然誤差         0.6745                       50

               標準誤差         1.0000                        68.3

               0.95誤差         1.960                          95

               極艱誤差         3.000                          99.7

     通常，如不特別指明，所謂“統計誤差” ，均指標準誤差。

    根據正態分布理論和測量次數N的多少，也可以這樣說：
    大約有68．3％的測量值平均數落在m±1σ之間，
    大約有95％的測量值平均數落在m±1．96σ之間，
     大約有99％的測量值平均數落在m±3σ之間等等。如圖1所示。

   
   


               



                    圖1  平均數分布的概率

質量檢查人員，似乎應學習點統計誤差理論。似乎遠東BBS討論過:10%抽查，保證工程質量---焊縫質量的問題。輻射測量儀器，均有統計誤差問題，希望與感興味的壇友溝通。