基于特征函數展開法的電渦流檢測解析建模研究

1 引言
電渦流檢測技術以其成本低、速度快、安全、不需耦合劑等優點被廣泛用于各領域中金屬材料的無損檢測與評估[1]。在電渦流無損檢測技術的基礎研究中，探頭響應的解析建模是必不可缺的組成部分，迄今已有大量的相關文獻報道。在已有研究成果中，1968年Dodd等[2]應用分離變量法建立線圈阻抗模型，是解析建模研究歷史中的里程碑事件。后來，Cheng[3]借助矩陣法將Dodd等建立的線圈阻抗模型推廣到任意層導電結構。毫不夸張地說，這兩篇經典文獻極大地影響了后續學者的研究思路，為解決其他規則問題的探頭響應建模提供了解決方法。

近些年，Theodoulidis將經典的特征函數展開法用于電渦流檢測探頭響應的解析建模研究中，取得了巨大成功，該方法被命名為截斷區域特征函數展開法(Truncated Region Eigenfunction Expansion method, TREE)[4]。該方法的提出與應用使得常規問題探頭響應模型不再是復雜的廣義積分，而是無窮級數和，明顯提高了模型效率；更重要的是該方法的應用大大拓展了可解析求解問題的范圍。本文較全面的綜述了應用截斷區域特征函數展開法開展探頭響應機械建模的研究成果，對未來的研究進行展望。

2基于TREE法的探頭響應模型的研究進展
特征函數展開法是數學物理方法（偏微分方程）教程中的經典方法。近些年，Theodoulidis教授通過設定模型區域邊界將其由無限大變為有限大小，通過選擇離散特征值及其特征函數，從而在多邊界處可同時滿足場量連續條件[4]。

TREE法可用于改進傳統的Dodd模型，使得模型表達式由積分型轉化為級數求和，可顯著提高模型效率，降低模型數值計算的復雜程度，如Theodoulidis[5]推導了位于半無限大平板上方和無限厚圓柱內部線圈阻抗的級數表達式；作者應用TREE法和電磁波的反射與透射理論建立了更高效可靠的任意層平板導體上方線圈激勵下渦流場的解析模型[6]。更重要的是，TREE法的應用解決了很多原來認為無法解析求解的問題，極大地拓寬了解析求解問題的范圍。目前已經解決的問題有
①        半無限大導體上方含圓柱型鐵芯線圈阻抗的解析模型[7]；
②        位于含孔型缺陷的半無限大導體上方線圈阻抗的解析模型[4]；
③        位于無裂紋[8]和有裂紋[9]的導體邊緣處線圈阻抗的解析模型；
④        位于柱型導體邊緣處線圈阻抗的解析模型[10]；
⑤        位于有理想和有限寬度裂紋的導體上方線圈阻抗的解析模型[11]；
TREE法的應用目前剛剛開始，相信還會有更多的原以為無法解析求解的問題能夠成功求解。

3 基于TREE法的探頭響應模型與傳統模型的比較
在電渦流無損檢測中，傳統的Dodd模型認為電磁場分布在無限大空間內，導致電磁場解析模型為廣義積分表達式。對放置于無限大導體上方的線圈（如圖1所示）

為了說明TREE法應用的合理性，本文通過仿真研究了磁場在導體內部的分布，如圖2所示。

通過圖2可知，導體內部的磁場主要分布在非常有限的區域內，而在該區域外可認為磁場已經消失。因該問題屬于軸對稱問題，可假定模型區域為半徑為?的圓柱體內，應用分離變量法求解Maxwell方程組可得線圈阻抗的級數表達式如下


為了展示應用TREE法改進模型優點，以四層平板結構為研究對象，在激勵頻率為1 kHz、10 kHz和100 kHz時，分別應用積分模型（Dodd模型）和級數模型（改進模型）計算了線圈阻抗變量，如表1所示；并在頻率為1 kHz時分別計算了1次、10次、100次所用時間，結果如表2所示。




通過表1和表2可知，應用TREE法推導的線圈阻抗級數表達式的精度與積分表達式的精度相當，但計算效率卻得到了顯著提高。
4         結論
近年來在電渦流檢測探頭響應的解析建模研究中出現了一種新方法——截斷區域特征函數展開法。本文綜述了該方法在探頭響應解析建模應用中的研究進展，通過已有成果和實例仿真表明，TREE法的應用在保證模型的前提下可顯著提高精度效率，并且大大擴展了能夠解析求解問題的范圍，為電渦流檢測探頭響應解析建模的深入研究奠定了基礎。

參考文獻
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[6]         范孟豹, 黃平捷, 葉波, 侯迪波, 張光新, 周澤魁. 基于反射與折射理論的電渦流檢測探頭阻抗解析模型 [J]. 物理學報, 2009, 58(9):.5950-5954.
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[9]        TP Theodoulidis and JR Bowler. On the interaction of an eddy current coil with a right-angled conductive wedge [J]. IEEE Trans. Magn., Accepted.
[10]         H Sun, JR Bowler and TP Theodoulidis. Eddy currents induced in a finite length layered rod by a coaxial coil [J]. IEEE Trans. Magn., 2005, 41(9): 2455-2461.
[11]        TP Theodoulidis, N Poulakis and A. Dragogias. Rapid computation of eddy current signals from narrow cracks [J]. NDT&E Int., 2010, 43(1):13-19.